透视投影
对透视投影的深入思考
投影变换是整个渲染管线里，设计得最复杂的，也最巧妙的一次变换。
前因
在GAMES101中，我只是大概了解了透视投影矩阵所做出的变换，将视椎体中的点全部映射到近平面上，再将近平面缩放成规则观察体(CVV空间)。
而在tinyrenderer中，我见到了不一样的透视投影矩阵。
关于透视投影的插值矫正，tinyrenderer直接忽略了这点，GAMES101中也没有做更详细的讲解，以至于我在看到透视除法等一系列操作时摸不到头脑。
于是，我去开始查找资料，为什么要做透视投影的插值矫正？但网上得到的答案大多都很简短、类似。类似于：重心坐标插值要在线性空间中插值，世界空间、观察空间中的坐标都是线性的，而经过透视投影变换后，是非线性的。于是以屏幕坐标插值出的结果是畸形的，当线性坐标下(例如观察坐标)的插值结果才是正确的。
这番解释虽然大概说明了要做透视插值矫正的必要性，但距离实际应用还是一头雾水。我到底该怎么从屏幕坐标这个非线性空间，插值得到线性空间坐标？透视投影变换的步骤究竟是什么？透视除法除以的w分量又究竟是什么，为什么要这么做？
于是，我展开了深入的理解。
理解前的统一定义
首先，为了统一坐标系、矩阵等问题，我会从以下方式思考：
- 向量默认为列向量
- 矩阵默认为列主序
- 变换默认为矩阵左乘
- 坐标系默认为右手系
- 摄像机默认处于原点，lookat方向-z，向上方向+y
投影变换的目的
坐标转换到观察空间后，由于直接使用摄像机的平截头体进行裁剪比较复杂（平截头体的边界方程求交困难），所以需要将其转化到裁剪空间（Clip空间 ）。
从观察空间到裁剪空间的变换叫做投影变换。Project
裁剪空间变换的思路是，对视椎体进行缩放，使远裁剪面缩放至近裁剪面大小，然后将这个长方体缩放至标准立方体移动到原点，使坐标的w分量表示裁剪范围，此时，只需要简单的比较x,y,z和w分量的大小即可裁剪图元。
虽然叫做投影变换，但是投影变换并没有进行真正的投影。
这一篇主要讲透视投影
透视投影变换步骤
- 从视椎体内一点投影到近裁剪面
- 由近裁剪面缩放至规则观察体(CVV空间)，得到clip坐标(此时clip坐标还没有除以w变成3D坐标，仍是齐次坐标)
对相机空间中的顶点，如果在视锥体中，则变换后就在CVV中。如果在视锥体外，变换后就在CVV外。CVV本身的规则性对于多边形的裁剪很有利。
透视投影简易模型理解
首先，我们明确我们的需求：将观察空间中视椎体中的坐标点 (x, y, z, 1)，通过透视投影，转化到近平面上的点 (x’, y’, z’, 1) 中去。
那么我们可以很简单的得到 z’ = Near，那么由于近平面值Near是固定的，先不妨假设为1，则
由相似三角形可得：
- z’ = 1 （z’ = Near）
- x’ = x/z （x’ = x * Near / z）
- y’ = y/z （y’ = y * Near / z）
- w = 1
那么就可以推出tinyrenderer中的透视矩阵：
因采用右手系，这里红色的1应该是-1
注意到M的最后一行不是(0 0 0 1)而是(0 0 -1 0)，因此可以看出透视变换不是一种仿射变换，它是非线性的。
经过这个矩阵变换，就可以得到(x’ = x, y’ = y, z’ = z, w’ = z)，经过齐次除法，xy映射到x’ = x/z，y’ = y/z，z’ = 1。这正是我们想要的变换。
我们将透视投影变换的系数储存在了w分量里，只要进行透视除法，就是非线性的(x’, y’, z’)坐标，而不考虑w分量，(x, y, z)仍是线性可插值的。
数学推导
推荐看这篇文章：图形学基础之透视校正插值
经过推导，我们发现：
当我们从视角空间到透视投影到屏幕空间后，我们的线性变换并不是x, y, z的线性变换，而是x, y, 1/z的线性变换。因此在屏幕空间上的插值需要做透视校正，否则会出现不正确的情况。
为什么是1/z的线性变换呢，在透视投影中，我们的视椎体是一个不规则立方体，将点(x, y, z)中的x, y映射到屏幕(近平面)上时会根据其z的值进行压缩，其公式是：
- x’ = Near/z * x
- y’ = Near/z * y
可以发现x’, y’和x, y的关系是1/z的关系。
在齐次坐标中 
，因此我们将z保存在w的位置，将x, y, z在透视投影下的线性变换都乘以z。这样
就是关于x, y, z的线性变换。
因此所谓的透视除法，就是在透视投影后还原x, y, z真实的屏幕空间值的过程。
真实模型理解
下面来看看网上最常见的透视矩阵书写形式：
其实这么写反而妨碍了我们的直观理解，由Aspect、Fov与w（width）、h（height）、N（Near）、F（Far）的关系，我们应当写成如下形式：
发现了吗，和透视矩阵之母Pure Perspective Projection的区别，第一列第一行的1变为了N*（2/w）这么一个缩放值。
2/w很好理解，是将近平面的宽缩放到长度2；
乘上N ，是因为考虑到齐次除法xyz分量要除以w分量，矩阵转化后的w分量等于转化前的z分量相反数。
故x’/w’= x/z, y’/w’ = y/z,是我们要的投影到近平面为1的值，这个值乘上N就相当于映射到了近平面，即true x’ =（N/z）*（2/w）。 相应的，mat11的值1变化为2N/h。
总结
关于透视投影的矫正，通过将原始的z值存储在w分量中。
透视校正插值使用线性的深度值和非线性空间下的插值系数s来计算出线性空间下的插值系数t，并用t来对顶点属性进行插值。
最后得到的(x’, y’, z’, w)中，x‘、y’已经是xy乘过Near了，再除以z不就是屏幕空间吗。
- x’ = x * Near / z
- y’ = y * Near / z
- z = Near
- w = 1